Professor Ronaldo de Moraes Batista - Matemática Turma 3º Ano do Ensino Médio (Noturno)

Objetivos da aula

·        Resolver problemas de contagem utilizando o princípio multiplicativo e noções de permutação simples.

·        Introduzir o Triângulo de Pascal e algumas de suas propriedades.

AULA – Princípio da Contagem

Tema da aula Geometria do Táxi – Contagem

- Apresentação dos objetivos da aula pelo professor

- Alunos conhecendo o material

DESCRIÇÃO:

Nas atividades propostas, o aluno escolhe quais serão seus pontos de referência no mapa (sua casa, a escola etc.) e é solicitado a descobrir de quantas maneiras diferentes é possível se deslocar entre duas localidades fazendo um trajeto mínimo. À medida que a distância entre as localidades aumenta, a organização de contagem e ideias de combinação surgem naturalmente.

Conteúdos: Contagem, Princípio Fundamental da Contagem e Combinações; Números, valor absoluto de números reais; Geometria, sistema de coordenadas, distâncias.

Objetivo: Utilizar o sistema de coordenadas cartesianas no plano e a noção de distância do táxi para explorar de forma natural conceitos de contagem e combinatória.

Duração: Uma aula dupla.

Áudio: O que é permutação?

A atividade 1 (Configuração do bairro): contém instruções gerais e, também, inclui a apresentação do mapa de ruas de uma cidade, representado por uma malha quadriculada. O aluno deverá escolher quatro esquinas para as quatro localidades – o posicionamento nas esquinas irá simplificar a contagem das quadras a serem percorridas para ir de um local a outro. A seguir, ele deverá determinar e marcar no mapa um trajeto mínimo entre duas dessas localidades. A figura abaixo ilustra esta atividade destacando um dos possíveis trajetos mínimos entre a casa e a escola.

A atividade 2 (Combinatória):  É dividida em cinco partes. O objetivo é determinar quantos caminhos diferentes de comprimento mínimo podem ser percorridos entre duas localidades. Na parte 1 é solicitado que o aluno descubra visualmente o número de trajetos mínimos entre duas localidades não muito afastadas uma da outra.

Na parte 2 é sugerida uma notação para a descrição dos trajetos, devendo ser utilizadas as letras e para o deslocamento de uma quadra na horizontal ou na vertical, respectivamente. Essa representação é solicitada para alguns trajetos mínimos. O aluno deverá perceber que a contagem dos trajetos mínimos, fácil de ser efetuada visualmente quando as localidades estão próximas, fica muito complexa quando estas são mais afastadas uma da outra e requer, nesse caso, um procedimento organizado. Isto deverá motivar o aluno para o entendimento do conceito de combinação envolvido na expressão para o cálculo do número de trajetos mínimos no caso geral, o que corresponde ao conteúdo da parte 3.

Assumindo que o aluno já conheça o conceito de permutação, colocamos a seguir uma forma de tornar a expressão acima mencionada mais compreensível, o que certamente será uma motivação para o conceito de combinação. A dedução dessa expressão será discutida com os alunos no fechamento das atividades.

Por que o número de trajetos mínimos é dado por uma combinação?

Vamos supor que entre as localidades A e B o menor trajeto deve ser percorrido através de oito quadras, sendo três horizontais e cinco verticais. Um exemplo de trajeto mínimo de A para B, pode ser denotado por HVVHVVHV, que significa que a primeira quadra é percorrida na horizontal, as duas seguintes na vertical, e assim por diante até a oitava quadra, que é percorrida na vertical.

A seguir, vamos analisar quantos trajetos mínimos diferentes existem entre A e B.
Se tivéssemos oito letras diferentes envolvidas na representação do trajeto, a resposta seria o número correspondente a todas as permutações possíveis das oito letras, isto é, 8! = 8.7.6.5.4.3.2.1 = 40320 trajetos. Mas aqui o número de possibilidades será bem menor, pois teremos que repetir a letra H três vezes e a letra V cinco vezes para preencher as oito posições e representar os três deslocamentos horizontais e cinco verticais necessários, variando a ordem.

Consideremos o exemplo do trajeto mínimo HVVHVVHV. Obteremos o mesmo trajeto se trocarmos as letras H entre si e as letras V entre si. Assim, nas 8! Permutações que seriam possíveis com letras diferentes estariam contando esse trajeto várias vezes. Mais precisamente, como há 3! modos de trocar as letras H entre si (permutações das posições 1ª, 4ª e 7ª) e 5ª modos de trocar as letras V entre si (permutações das posições a , 2ª, 3ª, 5ª, 6ª e 8ª), teríamos contado 3!5! vezes esse mesmo trajeto. Como o argumento acima pode ser considerado para qualquer outro trajeto mínimo entre as localidades A e B, o número total de trajetos mínimos diferentes é dado por:

8! / 3!5!

Note que esse número é exatamente o número de combinações de oito elementos tomados três a três.

Na parte 4 é solicitado o cálculo do número de trajetos mínimos entre duas localidades não tão próximas uma da outra, o que requererá o uso da expressão combinatória introduzida na parte 3.

Na parte 5 a novidade é o cálculo do número de trajetos mínimos entre duas localidades A e B passando por uma terceira localidade C. O conhecido Princípio Fundamental da Contagem assegura que este número é dado pelo produto do número de trajetos mínimos entre A e C pelo número de trajetos mínimos entre
 A e B.

Ainda na parte 5 é apresentada a questão 1, a para ser respondida no caderno. Essa questão envolve a extensão do princípio acima na discussão de trajetos que passam por várias localidades e deverá ser incluída no fechamento da atividade.

Questão 1 para o caderno 

De quantas maneiras você pode fazer um trajeto com tamanho mínimo que parte da sua casa, passa pela casa do seu amigo, depois pela escola, então pela lanchonete e termina na sua casa?

Fechamento (Conclusão):

Depois do término das atividades, serão comentadas as conclusões e os resultados obtidos pelos alunos. Introduzindo a seguir desenvolvimentos que dão subsídios ao professor para uma discussão mais aprofundada das questões relevantes desta atividade.